Calculo Integral: julio 2012

martes, 10 de julio de 2012

Tema 4.4 Radio de Convergencia

Tema 4.4 Radio de Convergencia

El número R se denomina radio de convergencia de la serie

Por convención, el radio de convergencia es R = O en el caso
El intervalo de convergencia de una serie de potencias consta de todos
para los cuales la serie converge.

En donde el intervalo es (—oo, +oo).

la desigualdad |x-a| - R

Donde Cualquier x es un punto extra,
(esto es, x = a ± R) puede suceder cualquier cosa: la serie puede converger para
ambos puntos extremos o divergir en ellos.

Un Ejemplo Muy claro de esto es el calculo del Numero e

que al igual que pi, es una serie infinita de teminos, pero que se calcula con la serie:

$e^{x}=\sum_{n=0}^\infty x^n/n!=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$

y como "x" pertenece a todos los reales, pues tiene un radio de convergencia infinito, ya que su dominio de dicha "x", es E (R).

Tema 4.1.2 Series de Potencias Infinita

Tema 4.1.2 Series de Potencias Infinita

Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un térmno inicial multiplicado por una cantidad constante,

p. ej.

a + ar + ar2 + ar3 + .. . En este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha serie infinita.
En general una serie infinita significa una expresión de la forma

series cuya suma no es frnita. Si la serie tiene una suma finita, se denornina serie
convei gente. mientras que en caso contrario se denoinina serie divergente.

pero este tema lo trataremos en el tema

4.2 Series De Potencias Y su Convergencia, Divergencia

Tema 4.1.1 Serie de Potencias Finita

La Series Matematicas como ya las hemos definido anteriormente so una suceciond e terminos que sirven en conjunto para aproximarse a un numero determinado,

ahora bien Una Serie de Potencias Finita, tiene un primer y último término bien definidos

Es decir Se CONOCE el Numero deTERMINOS que Componen la serie para lograr el objetivo deseado,

y tiene la forma

Siendo "n" un numero Conocido,
asi es posible obtener un valor deseado de la suma de dichos terminos.
tambien se les conoce como sumas parciales.

$S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k$

donde se sumaria los elementos desde 0, hasta k.

Tema 4.1 Series De Potencias Definicion

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha
suma, si es que tiene alguno, se define como

En efecto, al sumar suficientes terminos de la serie podemos aproximar las sumas parciales a 1 tanto como queramos Por consiguiente, parece razonable decir que la suma de esta serie infinita es 1

Estas sumas parciales forman una nueva sucesión, {s,n} , que puede o no tener límite.

existe (como número finito), entonces, igual que en el éjemplo anterior, decimos ue es la suma de la serie infinita $\Sigma$ a,n..

siendo "S" una forma de aproximarnos a un numero calculado mediante las Suma $\Sigma$ del "n"esimo termino de dicha serie.

por tanto cuando escribimos

a,n= s queremos decir que si se suma una cantidad suficiente de términos de la serie, nos podemos acercar todo lo queramos al número "s". Observe que

lunes, 9 de julio de 2012

Tema 4.7 Calculo de Integrales de Funciones Expresadas Como Series de Taylor

Aplicar el metodo de Taylor para resolver Ecuaciones Difereciales, que como se verá es la misma solución que proporciona la solución en series de potencias (o de coeficientes indeterminados). Esto es, si la solución en series de potencias arroja la solución en una formula cerrada, se tendrá entonces que la solución dada por los polinomios de Taylor también entregará dicha so-lución en forma cerrada.

Por lo tanto, en el caso de solución en puntos ordinarios, debería de enseñarse el método de desarrollo de Taylor, pues viene a ser mucho más cómodo para un estudiante de ecuaciones diferenciales, pues cuando se trabaja con solución mediante series de potencias, el acomodo de los índices de la sumatoria siempre es un poco confuso para ellos. Sin embargo ambos metodos son en esencia los mismos.

viernes, 6 de julio de 2012

Tema 4.6 Representacion De Funciones a series

Se puede aplicar la ecuación de las series de Taylor como más sencillo le resulte a cada quien, una de tantas formas la explicare aquí.

Lo primero que se hace es derivar unas 3 o 4 veces la función, esto porque algunas funciones empiezan a tener un patrón repetitivo después de cierto número de derivaciones, como la función e.

Después se tiene que sustituir "a" en cada una de las derivadas, pero como se decidió que "a" era 0 se sustituye un 0 en cada derivada y se observa que resultados da.

Esto de sustituir en cada derivada es solo para simplificar la ecuación de la serie y para darnos una idea de como se comporta la función. Una vez que se tiene una idea del comportamiento de la función se puede ir empezando a armar la ecuación de la serie

La serie de Taylor de una función f de numeros reales que es infinitamente diferenciable en un conjunto de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

$f(x) = f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$

que puede ser escrito de una manera más compacta como

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,$

miércoles, 4 de julio de 2012

Tema 4.5 Radio De Convergencia Y Su Intervalo

Tema 4.5 Radio De Convergencia Y Su Intervalo

Se llama intervalo de convergencia I al conjunto de valores reales de x que convierte a la serie de potencias en una serie numérica convergente.

En el caso de se observa que el intervalo de convergencia es I = (-1;1) y el radio de convergencia es
R = 1.

Cálculo del radio e intervalo de convergiencia:

Sea la serie de potencias . Formemos la serie de valores absolutos, es decir

que es una serie de términos positivos que si converge arrastrará la convergencia de que no necesariamente es de términos positivos.

La convergencia de la estudiaremos con el criterio de D'Alembert, o sea si

será convergente.

Desarrollando

y entonces la serie converge para

Llamamos R

al y además .

Para todos los valores de

a_n=1, ,

en cambio para es

y el I = R.

lunes, 2 de julio de 2012

Tema 4.3 Serie y Divergencia

Tema 4.3 Serie y Divergencia

Si una serie converge, los términos individuales de la serie deben tender a cero. Por lo tanto toda serie en la cual los términos individuales no tienden a cero diverge. El ejemplo más simple de una serie divergente cuyos términos se aproximan a cero es la serie Armonica,

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}.$

la serie Armonica se deine como una serie INfinita basicamente,

es decir no tiene fin el numero de terminos a calcular pero entre mas terminos se metan la ecuacion mas exacto sera el resultado,

basicamente es como aproximarse al numero pi.

que ni con un programa de computo es posible determinar en su totalidad aun en la epoca actual

Tema 4.2 Serie Numerica y Convegencia Prueba de la Raiz y la Razon

En Matematicas Una Serie Se llama Convergente, si la sucecion de terminos en dicha serie es finita, de lo contrario se le denomina infinita, o divergente

La convergencia permite, que al hacer el calculo de una serie esta pueda arrojar un numero exacto de lo que se espera al realizar el cálculo,

como ejemplo estan los siguientes:

${1 \over 1}-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+{1 \over 9}-{1 \over 11}+\cdots = {\pi \over 4}.$

${1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+{1 \over 32}+\cdots = 2.$

y asi sucecivamente, con un numero determinado de terminos en la serie.

de forma general la definimos asi :